Как найти значения функции распределения в точках


Свойства функций распределения

Закон распределения случайной величины не всегда может быть задан таблицей. Например, если речь идет о непрерывной случайной величине, то все ее значения перечислить невозможно.

Общий способ задания любых типов случайных величин осуществляется с помощью любых функций распределения. Пусть х – действительное число для случайной величины Х. Рассмотрим событие Х<х. т.е. событие состоящее в том, что Х примет значение < х. Рассмотрим вероятность этого события. Если х будет изменяться. то будет изменяться и вероятность, т.е. вероятность есть некоторая функция от х .

Функция распределения (интегральная функция распределения) случайной величины x называется функция F(х). определяющая для каждого значения х вероятность того, что случайная величина примет значение <х .

Случайная величина называется непрерывной. если ее функция распределения F(х) непрерывно дифференцируема.

Доказательство: пусть Х – случайная величина. Х1 и Х2 – две произвольные точки, причем х12 . Сравним значение функции в этих точках. Так, как событие Х<x1 влечет за собой Х<x2 . то вероятность также будет

2. Значение функции распределения принадлежит промежутку [0;1]. Свойство вытекает из определения 0£F(x)£ 1, вероятность - есть неотрицательное число, не превышающее единицы.

3. Если возможные значения случайной величины принадлежат промежутку (a;b ), то значение функции распределения равно нулю, если х<а равно 1, то F(х)= 0 и F(х)= 1, если х>b ,

1) Пусть х1 £а, тогда событие X<х1 – невозможно, т.к.

значения меньших х1 . величина х по условию не принимает, следовательно его вероятность равна 0.

2) Пусть х2 ³b. тогда событие X<х2 достоверно, т.к. все возможные значения X<х2 . следовательно вероятность такого события равна 1.

Следствие: если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси ox. то справедливо следующее соотношение.

;

.

График функции распределения в общем случае представляет собой график неубывающей функции, значение которой начинаются от нуля и доходят до 1. Причем в отдельных точках функция может иметь разрывы.

Для дискретной случайной величины график F(х) имеет ступенчатый вид.

Два стрелка сделали по выстрелу в мишень. Вероятность попадания первого в мишень равна 0,6, для второго 0,8. Составить таблицу распределения и построить ее график.

Обозначим x -число попаданий в мишень, тогда x принимает значения:

Вероятность попадания случайной величины в пределы заданного участка .

Зная функцию F(x). вычислим вероятность того, что случайная величина примет значение заключенное в интервале (a;b). Пользуясь теоремой сложения вероятностей запишем вероятность того, что х<b будет складываться из вероятностей Р(х<b)=Р(х<a)+Р(а£х). Выразим Р(а£х<b)=Р(х<b)-P(x<a)=F(b)-F(a). Таким образом искомая вероятность равна приращению функции распределения на данном интервале.

Отдельная вероятность попадания в точку.

Полученную формулу нахождения вероятностей используем для х=а при условии, что

Пример: Случайная величина задана функцией распределения

Вычислить вероятность случайной величины в интервале P(3,5£х £2,5) и Р (1<х <2,5).

Непрерывную случайную величину можно задать с помощью плотности распределения вероятностей случайной величины, которая является дифференцируемой функцией распределения. Рассмотрим непрерывную случайную величину x. функция распределения которой непрерывна и дифференцируема.

Определение: плотностью распределения случайной величины x. называют первую производную от функции распределения f(x)=F(x). Установим вероятностный смысл. Из определения производной следует, что это есть предел от приращения функции к приращению аргумента. Разница функций распределения в точке х+Dх. это есть вероятность того, что х попадает в интервал от (х+Dх).

Т.е. плотность распределения случайной величины в точке х. равно пределу отношения вероятности попадания случайной величины х в интервал от х до х+Dх к . когда ®0.

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал.

Зная плотность распределения величины x. вычислим вероятность того, что случайная величина примет значение принадлежащее интервалу от (a;b).

Рассмотрим график плотности распределения.

Кривая распределения имеет вид:



студопедия, школопедия, лекция, реферат, пособие, бесплатно, методичка:Свойства функций распределения Закон распределения случайной величины не всегда может быть задан таблицей. Например, если речь идет о непрерывной случайной величине, то все ее значения перечислить

как найти значения функции распределения в точках