Как найти скалярное произведение векторов пример


Скалярное произведение векторов.

Геометрическая интерпретация. Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов умноженного на косинус угла между ними:

a · b = | a | · | b | cos α

Алгебраическая интерпретация. Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b .

Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами

Формула скалярного произведения векторов для плоских задач

В случае плоской задачи скалярное произведение векторов a = < ax ; ay > и b = < bx ; by > можно найти воспользовавшись следующей формулой:

Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач

В случае пространственной задачи скалярное произведение векторов a = < ax ; ay ; az > и b = < bx ; by ; bz > можно найти воспользовавшись следующей формулой:

Формула скалярного произведения n -мерных векторов

В случае n -мерного пространства скалярное произведение векторов a = < a 1 ; a 2 ;.

; an > и b = < b 1 ; b 2 ;. ; bn > можно найти воспользовавшись следующей формулой:

Свойства скалярного произведения векторов

Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нуля:

Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору:

a · a = 0 <=> a = 0

Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:

Операция скалярного умножения коммуникативна:

Если скалярное произведение двух не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора ортогональны:

a ≠ 0, b ≠ 0, a · b = 0 <=> a ┴ b

( α a ) · b = α ( a · b )

Операция скалярного умножения дистрибутивна:

( a + b ) · c = a · c + b · c

Примеры задач на вычисление скалярного произведения векторов

Примеры вычисления скалярного произведения векторов для плоских задач

Пример 1. Найти скалярное произведение векторов a = <1; 2> и b = <4; 8>.

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.

Пример 2.

Найти скалярное произведение векторов a и b. если их длины | a | = 3, | b | = 6, а угол между векторами равен 60˚.

Решение: a · b = | a | · | b | cos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 9.

Пример 3. Найти скалярное произведение векторов p = a + 3 b и q = 5 a - 3 b. если их длины | a | = 3, | b | = 2, а угол между векторами a и b равен 60˚.

p · q = ( a + 3 b ) · (5 a - 3 b ) = 5 a · a - 3 a · b + 15 b · a - 9 b · b =

= 5 | a | 2 + 12 a · b - 9 | b | 2 = 5 · 3 2 + 12 · 3 · 2 · cos 60˚ - 9 · 2 2 = 45 +36 -36 = 45.

Пример вычисления скалярного произведения векторов для пространственных задач

Пример 4. Найти скалярное произведение векторов a = <1; 2; -5> и b = <4; 8; 1>.

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 - 5 = 15.

Пример вычисления скалярного произведения для n -мерных векторов

Пример 5. Найти скалярное произведение векторов a = <1; 2; -5; 2> и b = <4; 8; 1; -2>.

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 + 2 · (-2) = 4 + 16 - 5 -4 = 11.



скалярное произведение векторов, свойства скалярного произведения, пример скалярного произведения, скалярное произведение:Скалярное произведение векторов.

как найти скалярное произведение векторов пример