Как найти большую диагональ в правильной шестиугольной призме


Правильная шестиугольная призма

Правильная шестиугольная призма — призма, в основаниях которой лежат два правильных шестиугольника, а все боковые грани строго перпендикулярны этим основаниям.

Обозначения

  • $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильная шестиугольная призма
  • $a$ — длина стороны основания призмы
  • $h$ — длина бокового ребра призмы
  • $S_<\text<осн.>>$ — площадь основания призмы
  • $S_<\text<бок.>>$ — площадь боковой грани призмы
  • $S_<\text<полн.>>$ — площадь полной поверхности призмы
  • $V_<\text<призмы>>$ — объем призмы

Площадь оснований призмы

В основаниях призмы находятся правильные шестиугольники со стороной $a$. По свойствам правильного шестиугольника, площадь оснований призмы равна $$ S_<\text<осн.>>=\frac<3\sqrt<3>><2>\cdot a^2 $$ Таким образом, получается, что $S_=S_=\frac<3\sqrt<3>><2>\cdot a^2$.

Площадь полной поверхности призмы

Площадь полной поверхности призмы складывается из площадей боковых граней призмы и площадей ее оснований. Каждая из боковых граней призмы является прямоугольником со сторонами $a$ и $h$. Следовательно, по свойствам прямоугольника $$ S_<\text<бок.>>=a\cdot h $$ У призмы шесть боковых граней и два основания, следовательно, площадь ее полной поверхности равна $$ S_<\text<полн.>>=6\cdot S_<\text<бок.>>+2\cdot S_<\text<осн.>>=6\cdot a\cdot h+2\cdot \frac<3\sqrt<3>><2>\cdot a^2$$

Объем призмы

Объем призмы вычисляется как произведение площади ее основания на ее высоту.

Высотой правильной призмы является любое из ее боковых ребер, например, ребро $AA_1$. В основании правильной шестиугольной призмы находится правильный шестиугольник, площадь которого нам известна. Получаем $$ V_<\text<призмы>>=S_<\text<осн.>>\cdot AA_1=\frac<3\sqrt<3>><2>\cdot a^2\cdot h $$

Правильный шестиугольник в основаниях призмы

Рассматриваем правильный шестиугольник ABCDEF, лежащий в основании призмы. Проводим отрезки AD, BE и CF. Пусть пересечением этих отрезков является точка O. По свойствам правильного шестиугольника, треугольники AOB, BOC, COD, DOE, EOF, FOA являются правильными треугольниками. Отсюда следует, что $$ AO=OD=EO=OB=CO=OF=a $$ Проводим отрезок AE, пересекающийся с отрезком CF в точке M. Треугольник AEO равнобедренный, в нём $AO=OE=a,\ \angle EOA=120^<\circ>$. По свойствам равнобедренного треугольника $$ AE=a\cdot\sqrt<2(1-\cos EOA)>=\sqrt<3>\cdot a $$ Аналогичным образом приходим к заключению, что $ AC=CE=\sqrt<3>\cdot a $, $FM=MO=\frac<1><2>\cdot a$.

Находим $EA_1$

В треугольнике $AEA_1$:
  • $AA_1=h$
  • $AE=\sqrt<3>\cdot a$ — как мы только что выяснили
  • $\angle EAA_1=90^<\circ>$ — по свойствам правильной призмы
Таким образом, получается, что треугольник $AEA_1$ прямоугольный. По свойствам прямоугольного треугольника $$ EA_1=\sqrt=\sqrt $$ Если $h=a$, то тогда $$ EA_1=2\cdot a $$ После аналогичных рассуждений получаем, что $FB_1=AC_1=BD_1=CE_1=DF_1=\sqrt$.

Находим $EB_1$

В треугольнике $BEB_1$:
  • $BB_1=h$
  • $BE=2\cdot a$ — потому что $EO=OB=a$
  • $\angle EBB_1=90^<\circ>$ — по свойствам правильной призмы
Таким образом, получается, что треугольник $BEB_1$ прямоугольный.

По свойствам прямоугольного треугольника $$ EB_1=\sqrt=\sqrt $$ Если $h=a$, то тогда $$ EB_1=\sqrt<5>\cdot a $$ После аналогичных рассуждений получаем, что $FC_1=AD_1=BE_1=CF_1=DA_1=\sqrt$.

Находим $OF_1$

В треугольнике $FOF_1$:
  • $FF_1=h$
  • $FO=a$
  • $\angle OFF_1=90^<\circ>$ — по свойствам правильной призмы
Таким образом, получается, что треугольник $FOF_1$ прямоугольный. По свойствам прямоугольного треугольника $$ OF_1=\sqrt=\sqrt $$ Если $h=a$, то тогда $$ OF_1=\sqrt<2>\cdot a $$ После аналогичных рассуждений получаем, что $OA_1=OB_1=OC_1=OD_1=OE_1=\sqrt$.

Находим $FE_1$

В треугольнике $FEE_1$:
  • $EE_1=h$
  • $FE=a$
  • $\angle FEE_1=90^<\circ>$ — по свойствам правильной призмы
Таким образом, получается, что треугольник $FEE_1$ прямоугольный. По свойствам прямоугольного треугольника $$ FE_1=\sqrt=\sqrt $$ Если $h=a$, то тогда $$ FE_1=\sqrt<2>\cdot a $$ После аналогичных рассуждений получаем, что длины диагоналей остальных боковых граней призмы также равны $\sqrt$.

Категория:



как найти большую диагональ в правильной шестиугольной призме:Правильная шестиугольная призма Правильная шестиугольная призма — призма, в основаниях которой лежат два правильных шестиугольника, а все боковые грани строго перпендикулярны этим основаниям.

как найти большую диагональ в правильной шестиугольной призме